Курс лекций «Теория вероятностей в технических системах с использованием объектно-ориентированного подхода»

Работа с лекциями подразумевает активное использование MATLAB. В тексте лекций размещены примеры задач, которые можно копировать в рабочую область MATLAB или в область постановки задачи MATLAB APP.

В конце каждой лекции размещен полный листинг MATLAB кода, использующего разработанные функции из библиотеки.

Также для каждой лекции представлен m-файл, содержащий тестовый код.

Список лекций

Лекция № 1. Случайные события

Интервалы возможных значений всех существенных факторов ограничивают многообразие условий, которое в общем случае называют комплексом условий опыта. Теория вероятностей позволяет установить степень возможности случайного события, но для этого необходимо построить вероятностную модель случайного события.

Лекция № 2. Определение вероятностей сложных событий

Вычисление вероятностей сложных событий сводится к применению формул сложения и умножения вероятностей, если вероятности всех составляющих простых событий известны. В объектно-ориентированной среде вероятность события, выраженного через суммы и произведения простых событий, вычисляется автоматически методами класса Randev.

Лекция № 3. Случайные величины

Среди факторов случайности события есть величины, значение которых случайно: промах, угол подхода к цели. Все величины, с которыми оперируют в инженерных расчетах, и даже те, что считаются вполне определенными, в реальности под влиянием большого числа неконтролируемых факторов непредсказуемым образом отличаются от своих номинальных значений. Хотя инженерные расчеты выполняют по номинальным значениям, решение по результатам расчетов принимают с запасом, учитывая, что реальные величины (размеры, нагрузки и т.п.) могут иметь случайные отклонения от расчетных.

Лекция № 4. Числовые характеристики случайных величин

Вся информация о СВ содержится в ее функции распределения. Источниками информации могут быть априорные знания (например, равновозможные угловые положения проецируемого стержня) или статистические данные. На практике не всегда можно быть уверенным в априорной информация (когда летящий стержень имеет аэродинамическое качество) или нецелесообразно идти на большие расходы, чтобы накопить статистику для построения эмпирической функции распределения. Для оценки СВ часто достаточно знать ее числовые характеристики (среднее значение, степень разброса и т.п.). Кстати, именно неслучайные характеристики случайных величин используются в качестве показателей эффективности.

Лекция № 5. Законы распределения непрерывных СВ

В некоторых случаях интерес представляет не количество случайных точек поля в какой-то области, а расстояние между соседними, то есть любыми двумя ближайшими точками поля (расстояние между пробоинами в корпусе, влияющее на сохранение несущей способности, промежуток времени между двумя запросами на обслуживание, от которого зависит вероятность отказа). Речь идет о случайных величинах, и нужно построить для них функции распределения F(r) = P(R < r). Событие (R < r) означает, что расстояние R от произвольной точки поля до ближайшей соседней меньше r.

Лекция № 6. Система двух случайных величин

Системой случайных величин или случайным вектором называют две или более СВ, в совокупности представляющие некоторый объект той или иной природы.

Лекция № 7. Двумерное нормальное распределение

Из двумерных систем СВ особый интерес представляет нормальное распределение на плоскости. Этому закону подчиняются баллистические ошибки, ошибки определения координат цели, подготовки стрельбы, то есть все результаты воздействия большого числа случайных факторов, среди которых нет превалирующих.

Лекция № 8. Система произвольного числа случайных величин

Системы двух СВ – частный случай многомерных случайных векторов, вероятностный смысл которых не зависит от числа компонент. В отличие от системы двух СВ, проекции многомерных систем также могут быть системами (подсистемами).

Лекция № 9. Функции случайных величин

Часто практический интерес представляют не сами СВ, а определенные (не случайные) математические функции от них. Например, угловые положения беспорядочно вращающегося удлиненного фрагмента подчиняются некоторому закону распределения (возможно, равномерному), однако аэродинамическое сопротивление на участке траектории рассчитывают по «среднему миделю», то есть по МО случайной площади проекции фрагмента на плоскость, перпендикулярную вектору скорости. Сама площадь проекции функционально зависит от угловых координат, но из-за случайного характера аргументов также имеет случайные значения, распределение которых отличается от распределения аргументов.

Лекция № 10. Законы распределения функции двух случайных величин

Тестовые коды в одном архиве можно скачать ниже.